謝宗翰的隨筆 | 全台上櫃股票資訊網

謝宗翰的隨筆.Ifyoucan'tsolveaproblem,thenthereisaneasierproblemyoucansolve:findit.-GeorgePolya.

令 $X,Y$ 為兩隨機變數定義在某機率空間 $(Omega, mathcal{B}, P)$ 且 $f: mathbb{R}2 o mathbb{R}$ 為一連續函數。若對 $X$ 的實現 $X=x$ 而言 (亦即，存在 $omega in Omega$ 使得 $X(omega) = x$ )，我們顯然有 $$mathbb{E}[f(x,Y)] leq sup_x mathbb{E}[f(x,Y)]$$試問上述不等式左方若將 $x$ 換回隨機變數 $X$ 時仍然成立?亦即我們想問 $$mathbb{E}[f(X,Y)] leq ? sup_x mathbb{E}[f(x,Y)]$$ 答案是否定的，我們看以下的反例： Counterexample 考慮隨機變數 $X=Y$ 且 $P(X=1)=P(X=-1) = 1/2$ 且 $f(x,y) := xy$ 則我們可驗證 $$mathbb{E}[f(X,Y)] = mathbb{E}[X2] = 1/2 + 1/2 = 1$$然而如果我們觀察 $$mathbb{E}[f(1,Y)] = mathbb{E}[Y] = mathbb{E}[X] = 0$$ 另外 $$mathbb{E}[f(-1,Y)] = mathbb{E}[-Y] = -mathbb{E}[X] = 0$$ 故 $sup_xmathbb{E}[f(x,Y)] = 0$但是 $$sup_xmathbb{E}[f(x,Y)] < mathbb{E}[f(X,Y)]$$